It has been said that a good definition first throws the thing to be defined into a very large pool (i.e. a very broad category) and then pulls it out again (i.e. describes the unique characteristics that differentiate it from the other members of that category). That is the approach we will use in tackling the question; "What, exactly, is the Fourier series?" <...>

When earth material properties are constant in any of the cartesian variables then it is useful to Fourier transform (FT) that variable.
In seismology, the earth does not change with time (the ocean does!) so for the earth, we can generally gain by Fourier transforming the time axis thereby converting time-dependent differential equations (hard) to algebraic equations (easier) in frequency (temporal frequency).
In seismology, the earth generally changes rather strongly with depth, so we cannot usefully Fourier transform the depth axis and we are stuck with differential equations in . On the other hand, we can model a layered earth where each layer has material properties that are constant in . Then we get analytic solutions in layers and we need to patch them together. <...>

How much should a good spectroscopist know about Fourier transforms? How well should a professional who uses them as a tool in his/her work understand their behavior? Our belief is, that a profound insight of the characteristics of Fourier transforms is essential for their successful use, as a superficial knowledge may easily lead to mistakes and misinterpretations. But the more the professional knows about Fourier transforms, the better he/she can apply all those versatile possibilities offered by them. <...>

The basic material for this book has been accumulated from time to time over the author’s working lifetime of about 40 years. The rules-and-pairs approach to Fourier transforms has been employed with good effect in a wide variety of problems, from pulse Doppler radar spectra to delay compensation, and antenna array patterns to efficient clutter simulation. It has been found generally easy and effective, quickly yielding useful results and allowing the user to see clearly the relationships between functions and transforms, waveforms and spectra, rather than losing sight of these in the complexities of integration. It seemed that the benefits of this approach should be better known, and the initial intention was to produce a technical note for use by the author’s colleagues and successors. However, the interest shown and encouragement given by Artech House have been gratefully received, and the opportunity to publicize the technique more widely has been taken.
The support of Roke Manor Research in providing the facilities and freedom to write this book is gratefully acknowledged, as are the backing of C. J. Tarran and the reviewing of S. H. W. Simpson. The final acknowledgment is to the publisher’s reviewer, remaining anonymous, who provided encouragement and useful comments.

В книге излагаются физические основы дифракционных методов исследования кристаллических тел. Все изложение основано на применении Фурье-преобразования и операций типа свертки. Для усвоения материала требуется математическая подготовка в объеме обычного вузовского курса математики; дополнительные сведения по теории Фурье-преобразований, сингулярных функций и операций типа свертки приведены в начале книги. Помимо общей теории дифракции, на идеальных кристаллах в кинематическом приближении рассматриваются также некоторые вопросы дифракции на кристаллах с искажениями структуры. Книга предназначена для научных работников и инженеров исследователей, а также может быть использована студентами высших учебных заведений, приступающими к изучению дифракционных методов анализа структуры кристаллов.

В монографии изложены основы теории дискретных сигналов и почти все современные методы расчета цифровых фильтров. Рассмотрены теория, способы выполнения и применения алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Отдельные главы посвящены вопросам проектирования специализированных устройств цифровой обработки и применению цифровых методов для анализа речевых и радиолокационных сигналов. Книга содержит большое количество справочного материала, а также тексты программ для расчета типовых цифровых устройств.

Книга представляет большой практический интерес для инженеров-проектировщиков устройств первичной обработки сигналов, экспериментаторов, использующих для анализа сигналов вычислительные машины, специалистов в области вычислительной математики и программистов

В книге достаточно полно систематически изложены математические основы цифровой обработки детерминированных и случайных сигналов, методы анализа и синтеза цифровых фильтров, идеи алгоритмов быстрого преобразования Фурье, а также преобразование Гильберта и обработка двумерных последовательностей, отдельная глава  посвящена  гомоморфной обработке  сигналов.

Книга предназначена для научных работников, занимающихся цифровой обработкой сигналов.

Рассмотрена основа теории линейных преобразований. На базе преобразования Фурье подробно изложена теория спектральных предотав-лений оигналов, щироко применяемая в полевой геофизике. Даны основные свойства частотных спектров сигналов. Приведены основные сведения о разрывных функциях и их применения в теории сигналов. Изложе ны основы спектральной теории дискретизации сигналов и теории дис кретного преобразования Фурье.

Учебное пособие предназначено для студентов специальности 0802 "Геофизические методы поисков и разведки".

Преобразование Фурье, основные свойства которого изложены в I части настоящего учебного пособия [30], является наиболее распространенным в технических приложениях функциональным преобразованием и служит математическим аппаратом для описания основных аппаратурных и методических вопросов в сейсморазведке. Физическая наглядность и сравнительная простота преобразования Фурье обусловили его широкое применение. Однако во многих областях техники, связанных с передачей и обработкой сигналов, получили распространение и другие интегральные преобразования: Лапласа, Ханкеля, Меллина, Френеля, Гильберта и другие. На преобразовании Лапласа базируется операционное исчисление — наиболее распространенный математический аппарат при описании переходных процессов в линейных системах передачи сигналов. Преобразования Ханкеля и Френеля используют при описании волновых процессов, в частности, оптических способов обработки информации в технической оптике; преобразование Гильберта — в специальных вопросах теории электрических, оптических и других систем передачи информации. Преобразование Меллина, тесно связанное с преобразованиями Лапласа и Фурье, находит применение в теории интегральных преобразований, а один его вариант служит основой для так называемого „Z" - преобразования, которое широко используется при цифровой обработке дискретной информации.

Все отмеченные вопросы имеют большое значение в теории и практике сейсморазведки.

Преобразование Лапласа широко освещено в литературе в связи с операционным исчислением и применением его в теории линейных систем [1, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 28].

Краткие сведения о других преобразованиях довольно слабо отражены в различных монографиях и справочниках [6, 8, 11, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 29].

II часть данного учебного пособия по спектральным представлениям в сейсморазведке дает краткое описание интегральных преобразований Лапласа, Ханкеля, Меллина, Френеля, Гильберта. Преобразования объединены общим названием „Преобразования типа Фурье". Различные определения этого термина, представленные в литературе [19, 20, 21, 23], не позволяют с достаточной определенностью отнести перечисленные выше преобразования к „типу Фурье", однако именно этот термин, нашедший распространение в литературе, употребляется в настоящем пособии.